Определите конечную координату автомобиля

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

Уравнение координаты — зависимость координаты тела от времени:

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении:

x₀ — координата тела в начальный момент времени, v_0x —проекция начальной скорости на ось ОХ, a_x —проекция ускорения на ось ОХ, x — координата тела в момент времени t

Зная уравнение координаты, можно определить координату тела в любой момент времени.

Пример №1. Движение автомобиля задано уравнением:

Определить начальное положение автомобиля относительно тела отсчета, его начальную скорость и ускорение. Также найти положение тела относительно тела отсчета в момент времени t = 10 c.

Уравнение координаты — это многочлен. В уравнении выше оно включает в себя только 2 многочлена. Первый — 15 — соответствует начальной координате тела. Поэтому x₀ = 15. Коэффициент перед квадратом времени второго многочлена соответствует ускорению тела. Поэтому a = 5 м/с 2 . Второй многочлен отсутствует. Это значит, что коэффициент перед t равен 0. Поэтому начальная скорость тела равна нулю: v₀ = 0 м/с.

В момент времени t = 10 c координата автомобиля равна:

Совместное движение двух тел

Иногда в одной системе отсчета рассматривается движение сразу двух тел. В этом случае движение каждого тела задается своим уравнением. Эти уравнения используются для нахождения различных параметров движения этих тел. Такой способ решения задач называется аналитическим.

Аналитический способ решения задачи на совместное движение тел

Чтобы найти место встречи двух тел, нужно:

1. Построить уравнения зависимости x(t) обоих тел: x1(t) и x2(t).
2. Построить уравнение вида x₁ = x₂.
3. Найти время встречи двух тел t_встр.
4. Подставить найденной время в любое из уравнений x1(t) или x2(t), чтобы вычислить координату x_встрч.

Пример №2. По одному направлению из одной точки начали двигаться два тела. Первое тело движется прямолинейно и равномерно со скоростью 3 м/с. Второе тело — равноускорено с ускорением 1 м/с 2 без начальной скорости. Определите, через какое время второе тело догонит первое. Вычислите, на каком расстоянии от тела отсчета это произойдет.

Составим уравнения для движения каждого из тел:

Приравняем правые части этих уравнений и найдем время t:

Отсюда t₁ = 0 с, а t₂ = 6 с. Первый корень нам не подходит — из условия задачи уже было понятно, что тела начали движение одновременно. Снова они встрется, когда пройдет 6 секунд.

Чтобы найти, какое расстояние они пройдут за это время, подставим известное время в любое из уравнений:

x = 3t = 3∙6 = 18 (м).

Графический способ решения задачи на совместное движение тел

Существует графический способ решения данной задачи. Для этого нужно:

1. Построить графики x1(t) и x2(t).
2. Найти точку пересечения графиков.
3. Пустить перпендикуляр из этой точки к оси ОХ.
4. Значение точки пересечения — координата места пересечения двух тел.

Таким способом можно определить, в какое время произойдет встреча двух тел. Нужно лишь провести перпендикуляр к оси времени после построения графиков перемещений.

Графический способ решения задач требует высокой точности построения графиков. Поэтому он применяется редко!

Если в одной системе описывается движение двух тел, и одно тело начинает движение с опозданием t_запазд, то его уравнение координаты принимает вид:

Пример №3. Мальчики соревнуются в беге. По команде «Старт!» Миша побежал с ускорением 1 м/с 2 и через 4 секунды достиг максимальной скорости, с которой дальше продолжил движение. Саша отреагировал с опозданием и начал движение спустя 1 с после команды с ускорением 1,5 м/с 2 , достигнув максимальной скорости через 3 секунды. Найти время, через которое Саша догонит Мишу.

Если Саша догонит Мишу до того, как мальчики станут двигаться с равномерной скоростью, уравнение движения с равномерной скоростью можно игнорировать. Если это так, то корнем уравнения будет время, не превышающее 4 с (через столько времени оба мальчика начнут двигаться равномерно).

В таком случае составим уравнения только для тех участков пути, на которых мальчики двигались равноускорено:

Приравняем правые части уравнений и вычислим t:

В результате получаем два корня: t₁ = 0,6 с, а t₂ = 3,4 с. Первый корень не подходит, так как в это время Саша еще не начал движение. Второй корень подходит, так как он меньше 4 с. Значит, Саша догонит Мишу через 3,4 с после того, как Миша начнет движение.

Материальная точка движется прямолинейно с постоянным ускорением. График зависимости её координаты от времени x=x(t) изображён на рисунке.

В момент времени t=0 проекции её скорости υ_x и ускорения a_x на ось Ох удовлетворяют соотношениям:

а)

б)

в)

г)

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Записать уравнение движения грузовика и преобразовать его с учетом условий задачи.
3. Выразить скорость грузовика из уравнения его движения.
4. Записать уравнение движения мотоциклиста.
5. Найти время встречи мотоциклиста и грузовика из уравнения движения мотоциклиста.
6. Подставить время в формулу скорости грузовика и вычислить ее.

Решение

• Координата встречи грузовика и мотоциклиста: x = 150 м.
• Время запаздывания мотоциклиста: t_запазд = 5 с.
• Ускорение, с которым мотоциклист начал движение: a = 3 м/с 2 .

Запишем уравнение движения грузовика:

Так как начальная координата равна нулю, это уравнение примет вид:

Отсюда скорость движения грузовика равна:

Запишем уравнение движения мотоциклиста:

Так как начальная координата равна нулю, начальная скорость тоже нулевая, и мотоциклист начал движение позже грузовика, это уравнение примет вид:

Найдем время, через которое грузовик и мотоциклист встретились:

Подставим найденное время встречи в формулу для вычисления проекции скорости грузовика:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник статьи: http://spadilo.ru/uravnenie-koordinaty-pri-ravnouskorennom-pryamolinejnom-dvizhenii/

Определите конечную координату автомобиля

ЗАДАЧИ на Прямолинейное равноускоренное
движение с решениями

Формулы, используемые в 9 классе на уроках
«ЗАДАЧИ на Прямолинейное равноускоренное движение».

Название величины

Обозначение

Единица измерения

Формула

t

с Проекция начальной скорости

v_0x

м/с Проекция мгновенной скорости

v_x

м/с Проекция ускорения

a_x

м/с 2 Проекция перемещения

S_x

м Координата

x

м

1 мин = 60 с; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 м/с = 3,6 км/ч.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1. Автомобиль, двигаясь с ускорением -0,5 м/с 2 , уменьшил свою скорость от 54 до 18 км/ч. Сколько времени ему для этого понадобилось?

Задача № 2. При подходе к станции поезд начал торможение, имея начальную скорость 90 км/ч и ускорение 0,1 м/с 2 . Определите тормозной путь поезда, если торможение длилось 1 мин.

Задача № 3. По графику проекции скорости определите: 1) начальную скорость тела; 2) время движения тела до остановки; 3) ускорение тела; 4) вид движения (разгоняется тело или тормозит); 5) запишите уравнение проекции скорости; 6) запишите уравнение координаты (начальную координату считайте равной нулю).

Решение:

Задача № 4. Движение двух тел задано уравнениями проекции скорости:
v_1x(t) = 2 + 2t
v_2x(t) = 6 – 2t
В одной координатной плоскости постройте график проекции скорости каждого тела. Что означает точка пересечения графиков?

Задача № 5. Движение тела задано уравнением x(t) = 5 + 10t — 0,5t 2 . Определите: 1) начальную координату тела; 2) проекцию скорости тела; 3) проекцию ускорения; 4) вид движения (разгоняется тело или тормозит); 5) запишите уравнение проекции скорости; 6) определите значение координаты и скорости в момент времени t = 4 с . Сравним уравнение координаты в общем виде с данным уравнением и найдем искомые величины.

Решение:

Задача № 6. Вагон движется равноускоренно с ускорением -0,5 м/с 2 . Начальная скорость вагона равна 54 км/ч. Через сколько времени вагон остановится? Постройте график зависимости скорости от времени.

Задача № 7. Самолет, летевший прямолинейно с постоянной скоростью 360 км/ч, стал двигаться с постоянным ускорением 9 м/с 2 в течение 10 с в том же направлении. Какой скорости достиг самолет и какое расстояние он пролетел за это время? Чему равна средняя скорость за время 10 с при ускоренном движении?

Задача № 8. Трамвай двигался равномерно прямолинейно со скоростью 6 м/с, а в процессе торможения — равноускоренно с ускорением 0,6 м/с 2 . Определите время торможения и тормозной путь трамвая. Постройте графики скорости v(t) и ускорения a(t).

Задача № 9. Тело, имея некоторую начальную скорость, движется равноускоренно. За время t = 2 с тело прошло путь S = 18 м , причём его скорость увеличилась в 5 раз. Найти ускорение и начальную скорость тела.

Задача № 10. (повышенной сложности) Прямолинейное движение описывается формулой х = –4 + 2t – t 2 . Опишите движение, постройте для него графики v_x(t), s_x(t), l(t) .

Задача № 11. ОГЭ Поезд, идущий со скоростью v₀ = 36 км/ч , начинает двигаться равноускоренно и проходит путь S = 600 м , имея в конце этого участка скорость v = 45 км/ч . Определить ускорение поезда а и время t его ускоренного движения.

Краткое пояснение для решения
ЗАДАЧИ на Прямолинейное равноускоренное движение.

Равноускоренным движением называется такое движение, при котором тело за равные промежутки времени изменяет свою скорость на одну и ту же величину. Движение, при котором скорость равномерно уменьшается, тоже считают равноускоренным (иногда его называют равнозамедленным).

Величины, участвующие в описании равноускоренного движения, почти все векторные. При решении задач формулы записывают обычно через проекции векторов на координатные оси. Если тело движется по горизонтали, ось обозначают буквой х, если по вертикали — буквой у.

Если векторы скорости и ускорения сонаправлены (их проекции имеют одинаковые знаки), тело разгоняется, т. е. его скорость увеличивается. Если же векторы скорости и ускорения противоположно направлены, тело тормозит.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равноускоренное движение с решениями». Выберите дальнейшие действия:

13 Комментарии

«отрицательного ускорения» не бывает. Если движущееся тело снижает скорость-вступает в силу 3-й Закон Ньютона: F/m равно, или больше S/tt. Ньютон пытался уравнять ускорения S/tt и F/m, но ошибка в формуле S=att/2 не позволяла . Ошибку эту он сделал, когда искал ускорение свободного падения «яблока…» Конечная скорость-(9,8…) это НЕ at! at-это СРЕДНЯЯ скорость! Она равна (0+V конечная)/2.
V средняя=at. Vконечная=2at. S=(0+2at)/2*t. S=att (и-НИКАКИХ «/2)!
…..Если тело весом (массой) m кг., прошло путь S за время t, то ускорения S/tt=F/m. Искать просто ускорение- бессмысленно. Оно должно помочь найти S,t,F,m,V… Задача: камень весом 25 кг. передвинули на 40 м. за минуту. Вопрос: какую приложили силу- (F) ?
Решение: 40/3600=F/25. Ответ: 0,28 км.м/с. («крутящий момент»)
Задача: этот-же камень, с таким-же «упорством» тащили …100 м. Вопрос: t ? Решение: 100/tt=0,28/25. Ответ: 1,5 минуты (95 секунд).
«Законы» Ньютона пора пересмотреть… (при равномерном движении — НЕТ ускорения. А СРЕДНЯЯ скорость? А из неё и находим ускорение!)
При решении задач нельзя отнимать «скорость от скорости». Всякое движение -это энергия и время. И то и другое не может иметь знак «-«. Время не может пойти «вспять». И =Энергия. Она или есть, или её нет. S/tt=F/m -это значит, материя со временем переходит в энергию, а энергия со временем переходит в материю. ПРИРОДА- ВЕЧНА !

Спасибо за альтернативную точку зрения, не указанную в школьных учебниках физики. Надеюсь, это поможет учащимся расширить свой кругозор в области физики.

Ускорение — это вектор, а он отрицательным быть не может. Но вот проекция ускорения очень даже может быть отрицательной. И, прямо скажем, я не пойму что Вы тут написали, но попахивает каким-то бредом. Хотя бы потому, что at — это приращение скорости, а средняя скорость — это перемещение деленное на время движения, или путь на время движения, если интересует средняя ПУТЕВАЯ скорость. Деление же на 2, в уравнении движения возникает из-за правил интегрирования, которые говорят о том, что интеграл at по dt равен 0.5at^2/

«если тело прошло путь S за время t — график движения НЕ влияет ни на СРЕДНЮЮ скорость, ни на ускорение». А это значит, что не всегда «а» изменяет. скорость. При равномерном движении «а» такое-же, как и при любом движении, потому -что «Ускорение»- это ЭНЕРГИЯ, затраченная на движение, и она эквивалентна изменению скорости. S/tt. Будем считать, что это изменение скорости. Но F/m- это ЭНЕРГИЯ ! И она влияет на изменение скорости, измеряется так-же: «м/сек.сек.»
При решении задач на движение надо движение перевести в СРЕДНЮЮ скорость. А из НЕЁ и искать «ускорение».
У «яблока…» V нач.=0, V конеч.=9,8 м/с. V средняя=(0+9,8):2 V ср.=4,9 м/сек. S=V средняя (!)*t. 4,9*1=4,9 м.
«СРЕДНЯЯ скорость»-это «at». (при любом графике движения). «Конечная» скорость =2at. S=(0+2at)/2*t. S=a*tt, или at*t.
Задачка:… V нач.=10 м/с. V кон.=50 м/с. t=10 секунд. S=? a=? Решение:
Грубейшая ошибка: найти «а» : (50-10)/10. «а»=4 м/сек.сек. S=a*tt. 4*100=400 м.
Правильно будет так: (10+50)/2=30 м/с. Это-СРЕДНЯЯ скорость.. «а»=30/10. а=3 м/сек.сек. S=: V ср.*t=300 м. ; а*tt. 3*100=300 м S/tt=F/m. Ньютон ДОЛЖЕН был вывести такую формулу, но из-за ошибки «att/2» не смог…. S=a*tt = (at*t).
(не «заморачивай-те» головы студентов интегралами).

Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы 12 Н, при этом зависимость координаты тела от времени имеет вид: (м). Определить: массу тела; импульс тела в момент времени t = 2 c ; среднюю скорость за промежуток времени от t1 = 0 c до t2 = 2 c.

S/tt=F/m. S=? Тело двигалось,или стояло?

при решении задач на «рав. дв. с начальной скоростью больше (или меньше 0) искать «а» надо со ВСЕГО пути,а не только с момента V о.
…Если машина прошла 100 км. и только один раз ускорилась в течении 10 сек., то это не значит, что она израсходовала бензин только на разгон.
Даже в космосе, в невесомости.она она когда-нибудь остановилась, постепенно СНИЖАЯ скорость. Значит: её движение- НЕ РАВНОмерное.
Если-бы она продолжала двигаться равномерно, её «ускорение»-ЭНЕРГИЯ движения-снизилась бы в t квадрат раз: (а=10 м/сс…а=0,1 м/сс…а=0,0000……м/сек.сек…..) Задачка:
V нач.=10 м/с. «а»=2 м/сек.сек. t=5 сек. S-? «а»=?
Решение: ….(если будем рассматривать «а» только с момента нарастания скорости, то «а» не надо искать. Оно=2 м/сек.сек. А,вот, на ВЕСЬ путь ускорение будет другим: a=S/tt. (без 2S !). h (V конечная) «треугольника»=2at. 2*2*5=20 м/сек. ОБЩАЯ конечная скорость=10+20.
Получилась ТРАПЕЦИЯ, площадь которой-(путь)= (v+v+2at)/2*t. (10+10+20)/2*5. S=100 м. «а»=100/25=4 м/сек.сек. (или считать V ср./t
20/5=4 м/сек.сек.
НЕ ЗАБЫВАЙ-ТЕ и НЕ ПУТАЙ-ТЕ: at- это СРЕДНЯЯ скорость . 2at- это КОНЕЧНАЯ скорость. (при V нач.=0) И ещё: СРЕДНЯЯ скорость и ускорение НЕ зависят от графика движения тела! СРЕДНЯЯ скорость-это «равномерное движение». Скорость at-это то-же РАВНОМЕРНОЕ движение, V нач.=V конечной.. Если нач.и кон. скорости НЕ равны- это НЕ скорость at, и НЕ средняя скорость….
…Ошибка в формуле S=att/2 привела к этой «белеберде», к «интегралам». S/t=at, a at*t=2S (!?). «яблоко…» : 4,9/1=4,9. 4,9/1=9,8 ?!
S,t.m…можно ИЗМЕРИТЬ. Задача-найти F ! S/tt=F/m. Вот таким должен был быть труд Ньютона. НО ошибка «/2….»

….мощность мотора при условиях в задаче. (вес машины…1200 кг)
..машина имела ускорение 4 м/сс.. (для машины-«приличное» ускорение..) F/1200=4 сек.сек. F=4800 кг м./сек. Это=64 л.с. при 100% КПД
КПД ДВС=16 %. 64*6,25=400 л.с. (есть такие моторы. Правда, вес ТАКИХ машин 2,5-3 тонны…) Вот пример «теории и практики». А если вес машины …2650 кг., то мотор должен быть: 4*2650/75*6,25=883 л.с.

Определить тормозную путь,если известны начальная скорость 30 м/сек и замедление 6 м/сек2

V кон.=2at. 30=2*6*t. t=2,5 c. S=att. 6*2,5*2,5. S=37,5 м.

В 1-ой задаче (про самолёт): Vконечная=Vo+2at. V кон.=1008 км/час.
Путь(S)= (Vo+at)*t. (100+9*10)*10. S=1900 м. (если искать по площади трапеции, : (Vo+Vo+2at)/2*t. (200+180)/2*10. S=1900 м.
«а» «общее»= S/tt. 1900/100=19 м/сек.сек. При таком «ускорении» скорость через 30 сек.будет: 19*900=61560 км/ч .
«ускорение» 9 м/сек.сек.-это уже 2 раза превышает ускорение «яблока…». ….а ускорение 19 м/сс в течении 10 сек. (думаю)человек не перенесёт

В последней задаче: t= V ср./ a. Vср.=15 м/с. t=15/6=2,5 секунды (быстрее свободного падения…) S=att. 6*2,5*2/5=37,5 м.

(…напутал в решении…)
При «ускорении» 19 м/сс, скорость через 30 сек. будет: Vкон.=2at. 2*19*30. V кон.=1140 м/с. (4104 км/час)

задача № 11. V o=10. V кон.=12,5. S=600. a=? t=?
Решение: S=(v+V)/2*t. 600=11,25*t. t=53,3..сек. Всё верно ! А.вот, ускорение будет другим: a=S/tt. 600/53,3/53,3=0,21 м/сек.сек.
проверка: S=att. 0,21*53,3*53,3=600. (если S=att/2, то S=300 м. , а «ускорение» -? a=(V-v)/t (?), 2s/tt (?)… a=S/tt, или V средняя/t !
И ещё: почему при решении задач с разными нач.и кон. скоростями вместо трапеции рисуют какие-то «чёрточки со стрелками, и каким-то «ящичком » ? ПЛОЩАДЬ трапеции -это ПУТЬ. S=(V+V)/2*t ! Значения НЕ имеет, какая скорость больше: нач., или конечная : (v+V)/2, или (V+v)2, потому, что ДВИЖЕНИЕ-это ЭНЕРГИЯ*t. «at » at при любом графике движения ЕСТЬ (и равна) СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ. Все вычисления надо делать из СРЕДНЕЙ скорости! ( S=at/2*t ? a=(v-V)/t ?)

во второй задаче: V нач.=25 м/с. а=0,1 м/сс. t=60 c. S=? (давать надо одно: или «ускорение», или «время»)
решение: S=V ср.*t. 12,5*60=750 м. «ускорение»= V ср./t. 12,5/60. t=0,2 м/сс.
При «а»=0,1 м/сс. t=Vср./a. 12,5/0,1=125 секунд.
S при а=0,2 м/сс. S=att. 0,208*60*60=750 м. (и при разгоне, и при торможении)
S при а=0,1 м/сс. S=att. 0,1/125*125. S=1562,5 м. (и при разгоне. и при торможении)

Источник статьи: http://uchitel.pro/%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8-%D0%BD%D0%B0-%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5/